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 Sujet du message : Le nombre d'or dans la peinture
Message Publié : 07 Mars 2006 17:10 
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Hérodote
Hérodote

Inscription : 06 Mars 2006 19:43
Message(s) : 7
Localisation : Carcassonne
Bonjour !

Mon professeur d'art m'a demandé de faire une recherche sur le nombre phi ( ou le nombre d'or) . Pourriez vous m'aider en me trouvant des exemples pouvant se trouver sur des tableaux :?:

Merci pour vos réponses !!


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Message Publié : 07 Mars 2006 18:43 
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Jean Froissart
Jean Froissart
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Inscription : 30 Juil 2003 21:44
Message(s) : 1402
Localisation : Lorraine
Je suppose que vous connaissez les célèbres "Naissance de Vénus" de Botiicelli et "Léda et le cygne" de Léonard de Vinci ?

Vous trouverez des explications ici : http://www.lenombredor.free.fr/peinture.htm

_________________
===> Histoires lorraines


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Message Publié : 07 Mars 2006 19:29 
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Pierre de L'Estoile
Pierre de L'Estoile
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Inscription : 23 Oct 2004 9:14
Message(s) : 2059
Localisation : village des Pyrénées
Je me suis passionné pour ce nombre, du point de vue mathématique (proche de mon métier). j'ignore à peu près tout de son utilisation dans le domaine qui vous intéresse, mais je peux vous donner quelques éléments mathématiques (en essayant de rester assez simple), et aussi dans la nature.

1- la définition mathématique du nombre d'or:

Soit un rectangle ayant un petit coté noté "a", le grand coté "b". Le nombre d'or est le rapport a/b , tel que si on enlève un carré (de cotés a et a) de ce rectangle, le rectangle qui reste a encore les mêmes proportions. (si ça parait compliqué, relisez ma phrase en dessinant).
Mis en équation,(pour ceux qui suivent encore), ça donne:

Phi= a/b, tel que a/b = (b-a)/a.

Solution positive : Phi= 1+(racine de 5) /2

Mais c’est bien expliqué ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d'or

2- la suite de Fibonacci: (mathématicien, 1170-1250)
(expliqué au même endroit)
la suite de Fibonacci se construit de la façon suivante :

on écrit les nombres 1, puis 2, puis on fait la somme des deux derniers chiffres : 2+1=3, 3+2=5, 5+3=8,8+5=13 ; 13+8=21, 21+13= 34, etc.
ce qui donne la suite :
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 etc.

Et bien, miracle ! plus on va loin dans la suite, plus le rapport entre les deux derniers nombres (ici 233/144) se rapproche de Phi :

Phi = 1.618034…

2/1=2
3/2=1.5
5/3=1,666666
8/5=1.6
13/8=1.625
21/13=1.61538
etc.
233/144= 1,618056

3- dans la nature :
regardez une fleur de tournesol (ou de marguerite, camomille, etc.)

au centre de la fleur, il y a des « petits boutons », des sortes de graines (le nom est sur les sites que je vais vous indiquer).
Ces « graines » forment des spirales dans un sens, et des spirales dans l’autre sens. Et bien, miracle ! le nombre de spirales dans un sens et le nombre de spirales dans l’autre sens sont TOUJOURS deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci, par exemple 34 et 55 , ou 55 et 89, etc.

Cette propriété se retrouve un peu partout dans la nature
Voir http://tpe.tournesol.free.fr/
Et chercher Fibonacci sur Google…
4- de sérieux doutes historiques :
on lit ici où là que les égyptiens connaissaient le nombre d’or et en avaient tenu compte dans la construction des pyramides, mais je n’ai jamais pu avoir d’explication ou d’exemple précis pour étayer cette affirmation.
Si vous trouvez de réelles références historiques antérieures à Fibonacci, je suis preneur.

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"La vie des hommes qui vont droit devant eux, renaitraient-ils dix fois en dix mondes meilleurs, serait toujours semblable à la première. Il n'y a qu'une façon d'aller droit devant soi." (Pierre Mac Orlan)


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Message Publié : 07 Mars 2006 19:36 
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Pierre de L'Estoile
Pierre de L'Estoile
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Inscription : 23 Oct 2004 9:14
Message(s) : 2059
Localisation : village des Pyrénées
Mais je vois après coup que le site indiqué par Karolus est fait par 4 confrères ingénieurs, et que l'aspect mathématique est aussi expliqué.
Et aussi avec l'affirmation sur les égyptiens, toujours pas étayée. (il ne suffit pas de dire qu'ils savaient mais gardaient le secret, encore faut-il le prouver)

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Message Publié : 07 Mars 2006 21:16 
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Pierre de L'Estoile
Pierre de L'Estoile
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Inscription : 23 Oct 2004 9:14
Message(s) : 2059
Localisation : village des Pyrénées
Illustration:
voici une marguerite de mon jardin (l'été dernier)
Image
sur laquelle on voit 21 spirales dans un sens:
Image
et 34 dans l'autre:
Image

Si vous nous aviez vu, sur la route des vacances, pique-niquer en famille (avec les gosses et le chat) près des champs de tournesol, pour compter les spirales! la passion du nombre d'or se soigne difficilement !

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Message Publié : 21 Avr 2006 9:00 
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Pierre de L'Estoile
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Inscription : 23 Oct 2004 9:14
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Localisation : village des Pyrénées
Je reviens sur cette histoire de nombres "magiques" qui auraient été "connus par les égyptiens" selon les égyptologues du dimanche.

Les nombres sont des représentations humaines, des "modèles", c'est à dire des abstractions de la réalité.

Trois nombres (en particulier) sont mesurables dans la nature:

Le nombre "racine de 2" est le rapport entre la diagonale d'un carré et son coté.
Le nombre "pi" est le rapport entre l'aire d'un cercle et le carré de son rayon.
Le nombre d'or "Phi" défini ci-dessus.

Maintenant, l'interprétation historique et son abus:
- sur une tablette Babylonienne (2000 av. JC) (revue l'Histoire avril 2006), on trouve dessiné un carré, ses diagonales, et des écritures qui représentent des valeurs "dont l'une correspond au rapport de la diagonale au coté [] au dix millième près" ". Soit. On peut en déduire que quelqu'un , à Babylone, a mesuré le rapport entre deux longueurs, et a trouvé 1,414 et des poils. Prétendre que les babyloniens "connaissaient racine de 2" est pourtant abusif, sauf à trouver (ce qui n'est pas exclu à priori) un texte expliquant la notion de racine carrée, la notion de nombre "irrationnel", etc., toutes propriétés de ces nombres dans notre logique d'abstraction actuelle.
- Idem (je n’ai plus la source, mais de mémoire) un dessin babylonien d’un hexagone inscrit dans un cercle donne pi=3,15
- une chèvre attachée à un piquet par une corde de 10 mètres, dispose d'une surface de pacage de "100 fois pi" mètres carrés. Va-t-on en déduire que depuis l'élevage des chèvres, les hommes connaissent pi ? ou que les chèvres connaissent pi (à condition d'être attachées) ?
- Le nombre d'or: si on range des objets dans un espace où ils sont serrés entre eux (des graines de tournesol, par exemple) en ajoutant le dernier objet au centre (ce que fait le tournesol), alors leur façon de se ranger a un rapport avec le nombre d'or. Idem si on empile des cailloux . Le nombre d'or est aussi le rapport entre le nombre de lapins d'une population de deux générations consécutives (s'il n'y a pas de myxomatose ou de fermière avec une casserole). Le nombre d'or EST dans la nature, qu'on le connaisse ou non. Quand on le mesure sur les pyramides, on en déduit que "les égyptiens connaissaient le nombre d'or". Pourquoi ne déduit-on pas que les tournesols ou les lapins le connaissent ?

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 Sujet du message : Unité dans la diversité
Message Publié : 21 Avr 2006 10:24 
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Plutarque
Plutarque

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Message(s) : 195
Localisation : Besançon - Strasbourg
Réponse tardive après les passionnantes remarques de Dédé.
Après une discussion avec une amie versée dans les arts, j'ai appris que l'essentiel de l'oeuvre de Léonard été marqué par l'utilisation du nombre d'or, à l'instar de Léda et son cygne, où l'on trouve deux rectangles d'or (http://www.lecoindelenigme.com/image/Leda.jpg)
Un extrait de l'ouvrage Éléments de design industriel de Danielle Quarante : "Cependant, il convient de souligner que les proportions imputées au triangle équilatéral, au nombre d'or ou encore en ce qui concerne la suite de Fibonacci, sont nées non seulement d'un souci esthétique, mais de raisons pratiques. Les tracés a l'aide de proportions étaient une nécessité pour dessiner les plans. Il n'existait pas de systèmes de calquage ou d'agrandissement. Les ouvriers ne savaient pas lire et les schémas géométriques et tracés régulateurs ainsi déterminés étaient, avec l'aide du compas, le seul outil de reproduction.
On retrouve l'emploi de la "section d'or" dans le tracé du Parthénon, dans les compositions des peintres et grands maîtres du Moyen-Âge et de la Renaissance.
Au XIXe siècle, elle fut remise à l'honneur par le néo-classicisme (Viollet le Duc)."
Il existe un QSJ de M. Cleyer-Michaud sur la question (note bibliographique de l'ouvrage).
Une illustration est proposée : Étude harmonique au nombre d'or d'une réalisation Puiforcat.

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"... à cent lieues de la Bastille, à l'enseigne de la liberté."


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Message Publié : 13 Mai 2016 7:09 
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Pierre de L'Estoile
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Inscription : 23 Oct 2004 9:14
Message(s) : 2059
Localisation : village des Pyrénées
Je reviens sur cette histoire de nombre d'or :
Cette notion est connue avec certitude depuis Fibonacci (1170-1245). Il est fréquent, et même ci-dessus, d'affirmer qu'elle était utilisée bien avant (antiquité, pyramides) ou après (Léonard de Vinci). Mais je n'ai jamais vu de démonstration précise, d'exemple, de cette utilisation du nombre d'or tel qu'il est défini mathématiquement. Je suis têtu, je sais. Qui peut m'indiquer un exemple étayé, autre que de simples affirmations ?
Dans le cas du tableau indiqué ci-dessus, http://www.lecoindelenigme.com/image/Leda.jpg, est le nombre d'or ? (en tout cas pas dans les proportions du tableau rectangulaire qui nous est présenté ici)

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Message Publié : 13 Mai 2016 10:30 
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Grégoire de Tours
Grégoire de Tours

Inscription : 23 Déc 2010 13:31
Message(s) : 622
Le mathématicien Hypsiclès (2ème s. av. JC) utilise le nombre d'or dans un cadre géométrique. Je ne sais pas si cela correspond à votre questionnement.


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Message Publié : 13 Mai 2016 12:31 
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Jean Mabillon
Jean Mabillon
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Inscription : 28 Déc 2011 12:34
Message(s) : 2689
Localisation : St Valery/Somme
Dédé a écrit :
Je reviens sur cette histoire de nombre d'or :
Dans le cas du tableau indiqué ci-dessus est le nombre d'or ? (en tout cas pas dans les proportions du tableau rectangulaire qui nous est présenté ici)


Tout d'abord merci Dédé pour avoir ressortis ce sujet depuis 10 ans, j'ai appris plein de chose.
Je me suis interessé aux techniques de constructions en dessin artistique et surtout sur le cadrage photographique ou cinématographique et j'ai une approche intuitive du style 2/3 1/3
Dans le cas qui nous interesse je dirais que le placement du personnage dans le tableau corespond au nombre d'or. En effet il n'est pas au mlilieu il est légèrement décallé sur la droite selon la formule distance à gauche / distance à droite = 1.618
C'est ce que je dirait intuitivement aprés cela dépend quel est l'axe du personnage (qui est assez épais) qui fait référence pour satisfaire à cette équation.

A vos doubles décimètres :wink:

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Lietz her heidine man. Obar seo lidan.
Thiot urancono. Manon sundiono.
(Il permit que les païens traversassent la mer, Pour rappeler aux Francs leurs péchés)


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Message Publié : 31 Mai 2016 19:43 
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Plutarque
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Inscription : 27 Fév 2012 23:10
Message(s) : 128
Citer :
Phi = 1.618034…

2/1=2
3/2=1.5
5/3=1,666666
8/5=1.6
13/8=1.625
21/13=1.61538


Question au mathématicien de service: dans les cas ci-dessus on constate que la valeur du rapport entre 2 nombres de suite de la suite de Fibonnacci est une fois sur deux supérieur à phi et une fois sur deux infèrieur. Cette alternance se maintient-elle jusqu'à l'infini?


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Message Publié : 05 Juin 2016 6:35 
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Pierre de L'Estoile
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Inscription : 23 Oct 2004 9:14
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Localisation : village des Pyrénées
Je suppose que je suis la mathématicien de service (en retraite !)
Réponse : Oui.

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Message Publié : 12 Juin 2016 23:35 
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Jean Mabillon
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Inscription : 28 Déc 2011 12:34
Message(s) : 2689
Localisation : St Valery/Somme
supertomate a écrit :
Citer :
Phi = 1.618034…

2/1=2
3/2=1.5
5/3=1,666666
8/5=1.6
13/8=1.625
21/13=1.61538


Question au mathématicien de service: dans les cas ci-dessus on constate que la valeur du rapport entre 2 nombres de suite de la suite de Fibonnacci est une fois sur deux supérieur à phi et une fois sur deux infèrieur. Cette alternance se maintient-elle jusqu'à l'infini?


Autre question à Dédé (le mathématicien de service à la retraite): Est ce que le rapport entre 2 nombres de suite de la suite de Fibonnacci tend vers Phi lorsqu'on fait tendre ces deux nombres vers l'infini ??? 8-|

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Lietz her heidine man. Obar seo lidan.
Thiot urancono. Manon sundiono.
(Il permit que les païens traversassent la mer, Pour rappeler aux Francs leurs péchés)


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Message Publié : 13 Juin 2016 6:31 
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Pierre de L'Estoile
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Inscription : 23 Oct 2004 9:14
Message(s) : 2059
Localisation : village des Pyrénées
Ben oui, c'est (en substance) ce que j'ai écrit ci-dessus :
Citer :
Et bien, miracle ! plus on va loin dans la suite, plus le rapport entre les deux derniers nombres se rapproche de Phi

_________________
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Message Publié : 18 Août 2016 23:14 
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Grégoire de Tours
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Inscription : 07 Sep 2014 12:27
Message(s) : 434
Dédé a écrit :
on lit ici où là que les égyptiens connaissaient le nombre d’or et en avaient tenu compte dans la construction des pyramides, mais je n’ai jamais pu avoir d’explication ou d’exemple précis pour étayer cette affirmation.
Si vous trouvez de réelles références historiques antérieures à Fibonacci, je suis preneur.

Dédé a écrit :
Mais je vois après coup que le site indiqué par Karolus (http://www.lenombredor.free.fr/index.htm) est fait par 4 confrères ingénieurs, et que l'aspect mathématique est aussi expliqué.
Et aussi avec l'affirmation sur les égyptiens, toujours pas étayée. (il ne suffit pas de dire qu'ils savaient mais gardaient le secret, encore faut-il le prouver)

je ne comprends pas très bien à mon tour ce qui ne vous semble pas clair ou étayé dans les explications données par le site de vos confrères ?
http://www.lenombredor.free.fr/index.htm
"Le nombre d’Or (1,618...) (désigné par la lettre phi) est un rapport, un quotient, c’est-à-dire le résultat de la division de deux longueurs. Celles-ci peuvent être mesurées sur des objets, sur une fleur, sur l’homme… La proportion est formée par deux rapports égaux entre eux. Mais, disait Platon, « Il est impossible de bien combiner deux choses sans une troisième. Il faut entre elles un lien qui les assemble...Or, telle est la nature de la proportion ».
Trouver deux longueurs telles que le rapport entre la grande partie et la petite soit égal au rapport du tout: cette proportion fut appelée «proportion divine» par Pacioli. Léonard de Vinci lui donna le nom de «Section aurea», section dorée, qui prend la valeur numérique de 1.618… d’où l’appellation de «Nombre d’Or».
a/b = (a+b)/a = 1.618…
Le nombre d’Or a inspiré les Egyptiens et les Grecs et devint une référence en matière de proportion…
En ce qui concerne la mise en pratique de la proportion dans les anciens plans d'architecture et spécialement des édifices religieux, le secret semble avoir fait partie de l'enseignement confidentiel, que se transmettait les familles de bâtisseurs et des corporations d'autrefois. Platon, dit-on, était peut-être un initié qui a rompu le silence.
Il a fallu attendre que tel artiste ou tel savant de l’Antiquité, du Moyen Âge ou de la Renaissance dévoile son secret pour que naisse une technique accessible au public. Il suffit de lire le sermon du silence qui liait les bâtisseurs des pyramides et des tombeaux pour comprendre les retards dus au manque d’information. Par ailleurs, les textes difficiles à déchiffrer à cause d’abréviations et d’expressions anciennes qui datent d’avant le XVI° siècle ont découragé les artistes de l’époque. C’est ce qui explique le secret qui entoure encore aujourd’hui la construction de bien de nos cathédrales.
Pendant plusieurs siècles, le nombre d’Or est resté dans l’oubli, à part pour quelques artistes ou architectes bien documentés sur les théories de Vitruve et de Platon. En 1854, Zeissing fit une analyse du squelette humain et en conclut que l’homme est le plus digne des arts appliqués".

Puis, en ce qui concerne la Pyramide de Khéops:
"D'aprés nos recherches, la hauteur b vaut 148,2 m et le côté de la base carré vaut 232,8 m. En appliquant le théorème de Pythagore, on trouve :
a² = b² + c² d'où a² = 148,2² + 116,4² et par conséquent a = 188,44. On obtient que a/c = 188,44/116,4 = phi.
Les côtés du triangle ABS sont en progression géométrique. Il n’existe pas d’autre triangle ayant cette propriété remarquable. Le triangle méridien BCS se retrouve dans les cathédrales gothiques et notamment dans la cathédrale Notre Dame De Paris ainsi que dans celle de Strasbourg."

Dédé a écrit :
de sérieux doutes historiques :
on lit ici où là que les égyptiens connaissaient le nombre d’or et en avaient tenu compte dans la construction des pyramides, mais je n’ai jamais pu avoir d’explication ou d’exemple précis pour étayer cette affirmation.
Si vous trouvez de réelles références historiques antérieures à Fibonacci, je suis preneur.

Qu'est ce que vous appelez ou appelleriez une "référence historique" ?...si c'est des plans que vous espérez il m'étonnerait comme expliqué plus haut ("En ce qui concerne la mise en pratique de la proportion d'or dans les anciens plans d'architecture et spécialement des édifices religieux, le secret semble avoir fait partie de l'enseignement confidentiel, que se transmettait les familles de bâtisseurs et des corporations d'autrefois") que jamais il n'en surgisse aucun, que ce soit pour les pyramides, pour les temples antiques comme pour les cathédrales gothiques.
Outre cela, je ne comprends toujours pas où et pourquoi vous "bloquez" par rapport à l'utilisation que ce soit de Phi ou de Pi par les constructeurs des pyramides de Gizeh: il suffit, comme pour le Parthénon ou Notre-Dame de Paris, de prendre les relevés dimensionnels (hauteurs, largeurs, longueurs...) qu'ils soient externes à la pyramide, ou ceux de sa structure interne (disposition des différentes chambres et espaces tels que les corridors et puits "d'aération" les un(e)s par rapport aux autres) ou de la distribution générale des différents édifices (Khéops, Khéphren, Mykérinos, Sphynx) sur le site de Gizeh pour constater que loin de répondre à de heureux hasards les constructeurs de ces ensembles architecturaux avaient une connaissance et maîtrise profondes de ces notions géométriques et mathématiques si particulières.

Dédé a écrit :
Je reviens sur cette histoire de nombres "magiques" qui auraient été "connus par les égyptiens" selon les égyptologues du dimanche.

Il faudrait savoir Dédé, soit vous considérez ces notions et nombres tout à fait naturellement du point de vue scientifique et en attribuez le même et libre usage à toute autre personne (dont moults ingénieurs, techniciens qualifiés et architectes) qui ne soit "egyptologue patenté" mais qui voudrait faire l'étude sur ces constructions architecturales de l'application et exécution des dites notions et procédés géométrico-mathématiques à partir de leurs points de vue (proprement experts et professionnels), soit vous considérez vous-même et d'emblée que ces notions et nombres sont "magiques" et irrationnels et qu'il n'y a aucune logique scientifique e à y chercher ou qui puisse réellement s'y appliquer ?

Dédé a écrit :
Trois nombres (en particulier) sont mesurables dans la nature. Le nombre d'or EST dans la nature, qu'on le connaisse ou non. Quand on le mesure sur les pyramides, on en déduit que "les égyptiens connaissaient le nombre d'or". Pourquoi ne déduit-on pas que les tournesols ou les lapins le connaissent ?

1) Tous les nombres (en particulier) sont mesurables dans la nature.
2) c'est pourquoi, comme les autres nombres, Phi se retrouve dans certaines formations naturelles, pas partout dans la nature (si l'on veut bien éviter d'aborder des domaines quelque peu transcendants et fluctuants comme ceux du sub-atomique ou quantique...).
3) on ne mesure pas Phi (ou Pi ou quoi que ce soit) directement sur les pyramides, mais c'est en mesurant les hauteurs, largeurs etc etc de la pyramide (ou de tout autre édifice) selon des données classiques pour nous (comme celles du système métrique) ou moins habituelles de nos temps (coudées égyptiennes, pieds, empans, palmes du moyen-âge...) et en traitant ces différentes mesures dans leurs relations plus ou moins apparentes que ces constantes mathématiques et géométriques (que sont Phi ou Pi) se révèlent à l'observation ou à l'observateur.
4) pour ce qui est des tournesols ou des lapins, point étonnant que ceux-ci tout comme les pyramides, le parthénon ou les cathédrales gothiques ne connaissent pas plus le nombre d'or que la formule abracadabra puisque de fait ils sont toutes et tous les créatures et créations de leurs créateurs (qui eux par contre et au vu et su de ces réalisations "parfaites", doivent sûrement bien le connaitre le nombre d'or !).

Dédé a écrit :
Je reviens sur cette histoire de nombre d'or: Cette notion est connue avec certitude depuis Fibonacci (1170-1245

Là encore Dédé, je crains que vous persistiez par cette présentation des choses à maintenir une certaine confusion vis-à-vis de cette notion: car si la suite de Fibonacci (basée sur des opérations arithmétiques de nombres rationnels révélant la constante mathématique que nous appelons Phi) date bien des 12/13e siècles, le "nombre d'or" est lui probablement connu depuis la plus haute antiquité et pour cela il suffit de voir (et d'étudier mathématiquement) les réalisations architecturales humaines disséminées un peu partout sur le globe depuis des milliers d'années.

Dédé a écrit :
Je reviens sur cette histoire de nombre d'or: Il est fréquent d'affirmer qu'il était utilisé bien avant (antiquité, pyramides) ou après (Léonard de Vinci). Mais je n'ai jamais vu de démonstration précise, d'exemple, de cette utilisation du nombre d'or tel qu'il est défini mathématiquement. Je suis têtu, je sais. Qui peut m'indiquer un exemple étayé, autre que de simples affirmations ?

Comme déjà dit, il vous suffit de prendre les dimensions des objets que vous voulez étudier puis d'appliquer à ces données les opérations géométriques ou mathématiques (et peut-être magiques selon vous ?) de traçages et calculs des rayons, diamètres, superficies, proportions, projections...de ces données les unes en rapport des autres. Vous aurez la joie, si vos calculs et traçages sont justes et votre objet "parfait" d'y retrouver comme résultats ces constantes universelles que sont Phi, Pi, Racine de 2 etc etc...

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“Etudie, non pour savoir plus, mais pour savoir mieux. ”
Sénèque


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