Commençons tout bêtement par Wiki :-)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Agent_de_changeCiter :
En France, le statut d'agent de change remontait à 1802 au tout début de l'histoire boursière; il assurait aux titulaires la qualité d'officiers ministériels, un numerus clausus comparable à celui des notaires ou des huissiers, et le monopole des transactions de bourse. A partir de 1893, ils ont rempli aussi la mission de collecter un impôt de bourse au profit de l'État, charge qui a aussi été confiée la même année à leurs rivaux, les coulissiers.
Vivement critiqué par les banques, principales clientes, le monopole a disparu au terme de la réforme de 1989. Le statut d'agent de change a disparu alors, pour être remplacé par celui de société de bourse. Très peu d'entreprises indépendantes subsistent aujourd'hui parmi les anciennes charges d'agents de change.
Le point essentiel est la notion de monopole. Seuls les agents de change pouvaient acheter ou vendre des actions. On imagine bien que pour coter une action en confrontant vendeurs et acheteurs autour d'une table (j'ignore à quelle date on a créé la "corbeille") - et effectuer ensuite les transactions - il faut forcément un nombre limité d'individus. Comme ils prennent un pourcentage sur les transactions, ils sont très riches, et les charges se transmettent précieusement de père en fils, à moins qu'elles se vendent à prix d'or. Conséquence du monopole : les courtiers en bourse, qui collectent les ordres de leurs clients, doivent les regrouper et les faire passer aux agents de change, qui sont seuls habilités à les acheter ou les vendre. Même les courtiers d'une grande banque doivent passer par cette procédure. Une charge d'agent de change représente donc un gros volume d'activités et demande un personnel important. Dernière chose : sauf erreur de ma part, les agents de change sont responsables sur leurs deniers en cas d'erreur sur une transaction, (comme c'est encore le cas aujourd'hui pour les notaires) mais rassurez vous ils cotisent collectivement à une assurance commune. Les agents de change sont donc les piliers de l'activité boursière, ils ont une importance considérable.
Tout cela n'est valable évidemment que pour les actions de sociétés cotées en bourse. Un grand nombre de petites sociétés ont un actionnariat privé et/ou familial, et leurs actions ne sont pas sur le marché. Dans ce cas, la vente ou l'héritage d'une partie des actions est une opération rare, qui fait l'objet d'un contrat privé, et je pense que cela se fait devant notaire comme pour un bien immobilier.
Le besoin de se faire coter sur le marché boursier n'apparaît qu'avec le besoin de collecter de l'argent pour financer son développement. On procède dans ce cas à une augmentation de capital, c. à d. qu'on imprime des actions supplémentaires qui vont représenter une partie de la valeur de l'entreprise, en prenant soin de rester majoritaire. A charge pour les acquéreurs éventuels de voir si ces actions supplémentaires auront une valeur intéressante, autrement dit est-ce que les développements envisagés promettent d'être rentables ou non. Pour l'actionnaire principal, l'entrée en bourse permet de faire rentrer dans l'entreprise de l'argent qui provient d'acheteurs multiples, une solution qu'on peut préférer à une association avec un - gros - partenaire unique.
Tout cela est valable pour les actions. Des mécanismes voisins sont appliqués pour les obligations, c'est à dire pour les titres qui représentent une part de souscription d'un emprunt, qu'il s'agisse d'un emprunt d'état ou d'un emprunt lancé par une entreprise. Là encore les agents de change ont le monopole de la transaction des emprunts effectués par l'intermédiaire de la bourse.
Voilà pour l'essentiel, je pense ne pas avoir raconté trop d'âneries. (les autres contributeurs corrigeront les imprécisions éventuelles.)
Edit : la charge d'agent de change disparaît avec l'informatique, en 1989 - une date qu'il est permis de trouver tardive - parce qu'il n'est plus nécessaire de confronter physiquement acheteurs et vendeurs, les ordinateurs font cela très bien. De même le courtage -collecte et transmission des ordres vers la bourse - se fait par des ordinateurs connectés aux ordinateurs de la bourse.