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Message Publié : 25 Jan 2008 18:12 
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Grégoire de Tours
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Inscription : 30 Sep 2007 12:09
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Savez-vous qui a découvert la fonction exponentielle et dans quels domaines à l'origine elle était utilisée ?
On la note exp(x).


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Message Publié : 25 Jan 2008 22:29 
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Jean Froissart
Jean Froissart
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Inscription : 28 Avr 2006 23:02
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Dans A History of Mathematics souvent réédité, l'excellent professeur, Carl B. Boyer, attribue l'invention de la fonction logarithme au baron de Murchiston, John Napier (Neper), vers 1594.
Carl B. Boyer est moins précis pour la fonction exponentielle. Il indique qu'Archimède a exprimé de grands nombres en utilisant une formulation qui s'apparente à une exponentielle dans son traité sur les grains de sables (Psammites). Apollonius de Perga s'est aussi approché des exponentielles, en s'intéressant aux grands nombres avec l'usage de ses "tetrades".
Au Moyen Age, Thomas Brawardine, a fait un pas en direction de l'étude des fonctions transcendantales. Nicole Oresme l'a suivi en généralisant sa théorie des proportions. Il a aussi étudié, entre autres choses, la fonction x à la puissance racine de deux.
Il me semble que l'on pourrait trouver des commentaires anciens sur la croissance des populations, qui se fait de manière exponntielle quand tout va bien. Déjà la formule croissez et multipliez et remplissez la terre de la Genèse montre que la notion de croissance exponentielle était plus ou moins connue.


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Message Publié : 09 Fév 2008 16:34 
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Plutarque
Plutarque
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Inscription : 15 Juin 2007 10:41
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Comme l'a dit OlivierT les fonctions puissances sont connues depuis lontemps mais avec des exposants essentiellement entiers, c'est à la fin du Moyen-Age que l'on va voir apparaître timidement des exposants entiers négatifs ou fractionnaires (Oresme, Bradwardine) mais ces tentatives restent intuitives et insignifiantes.
Newton utilisera systématiquement les exposants fractionnaires et négatifs avec le développement de son binôme
Image
Mais la définition d'un nombre élevé à un exposant réel quelconque
(entier, fractionnaire ou autre) et qui constitue ce qu'on appelle précisément une fonction exponentielle, passe obligatoirement par le
logarithme.
Les logarithmes furent inventés par l'écossais John Neper au début du 16e siècle, essentiellement pour faciliter les calculs. En effet, les logarithmes transforment les multiplications en sommes selon la formule
ln(ab) = ln(a) +ln(b),
de sorte que pour faire une multiplication on était ramené, grâce à une table de logarithmes, à faire une addition facile.
L'astronome J. Kepler les a utilisés aussitôt.
Mathématiquement, la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme. Or, la notion de fonction n'apparait explicitement qu'au 18e siécle et, de fait, la fonction exponentielle n'apparaît vraiment qu'au 18e siécle, chez Léonard Euler dans son Introduction à l'analyse infinitésimale, Lausanne, 1748 (téléchargeable sur Gallica). C'est lui qui donne la notation devenue classique
Image.(p. 79, T.1). A partir de cette fonction exponentielle naturelle on définit les
fonctions exponentielles de base a quelconque (réel positif) et notée Image.

Pour en revenir à L. Euler,il donne également des calculs de croissance de population, en particulier un exemple de croissance de population commençant au Déluge avec 6 personnes (p.89 T.1).


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Message Publié : 09 Fév 2008 16:45 
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Philippe de Commines
Philippe de Commines
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Inscription : 05 Jan 2008 16:29
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Jean-ClaudeP a écrit :
Pour en revenir à L. Euler,il donne également des calculs de croissance de population, en particulier un exemple de croissance de population commençant au Déluge avec 6 personnes (p.89 T.1).


Démonstration purement mathématique d'ailleurs, ne prenant pas en compte l'extinction rapide de la lignée que la consanguinité aurait causée...

C'est aussi Euler, entre autres, qui a établi l'équation graphiquement fascinante : e puissance (i x pi) = -1.


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Message Publié : 09 Fév 2008 20:46 
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Plutarque
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Inscription : 15 Juin 2007 10:41
Message(s) : 198
Localisation : Reims
Je suppose que c'était un jeu de mathématicien, quoique Euler semble sérieux quand il fait son calcul et parait vouloir prouver quelque chose (?).
Effectivement la formule Image fascinait les mathématiciens du 18e car elle faisait intervenir la quantité Image qui pour eux n'avait pas d'existence réelle et arrivait souvent subrepticement dans les calculs.

A ce sujet, je me souviens qu'un certain Tobias Dantzig - je ne sais pas si c'est la mathématicien né en 1884 ou un homonyme plus ancien - aurait donné une démonstration de l'existence de Dieu avec cette formule:
Dieu est en 3 personnes, le Père, le Fils et le Saint-Esprit (c'est un des Mystères de la religion catholique). Alors de deux choses l'une, ou Dieu existe et la démonstration est terminée, ou il n'existe pas, donc les 3 personnes ne peuvent exister non plus. Or cette formule prouve le contraire, à savoir que quand bien mêmes 3 êtres n'existent pas leur agrégat judicieux existe. Ainsi, Pie n'existe pas puisque on en peut connaitre qu'une approximation, e pour la même raison n'existe pas non plus, et bien sûr i, encore moins. Or cette formule montre que l'agrégat de ces trois nombres existe bien puisque c'est -1.
Image
CQFD.
Bien sûr je ne garantis pas la démonstration mais l'histoire est aussi jolie que la formule.


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 Sujet du message : Merci beaucoup
Message Publié : 10 Fév 2008 21:29 
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Grégoire de Tours
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Inscription : 30 Sep 2007 12:09
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Localisation : Klow / Nouillorc
Effectivement cette formule est très intéressante dans la mesure ou elle fait intervenir 3 éléments 'magiques' des mathématiques, l'exponentielle, Pi, et l'imaginaire i.
Il me semble bien que c'est Euler qui l'a découvert.


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 Sujet du message : Re: Merci beaucoup
Message Publié : 10 Fév 2008 21:41 
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Philippe de Commines
Philippe de Commines
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Inscription : 05 Jan 2008 16:29
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Localisation : France
Vitalis a écrit :
Effectivement cette formule est très intéressante dans la mesure ou elle fait intervenir 3 éléments 'magiques' des mathématiques, l'exponentielle, Pi, et l'imaginaire i.
Il me semble bien que c'est Euler qui l'a découvert.


L'anecdote disant qu'il défia Denis Diderot à la Cour de Catherine la Grande avec l'affirmation : « Monsieur, e puisance (i x pi) + 1 = 0 donc Dieu existe, répondez ! » est cependant apocryphe, d'après wikipedia... quel dommage !

On trouve la démonstration complète dans wikipedia également.


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 Sujet du message : Re: Merci beaucoup
Message Publié : 19 Mai 2008 15:06 
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Polybe
Polybe

Inscription : 21 Jan 2007 19:34
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Vitalis a écrit :
Effectivement cette formule est très intéressante dans la mesure ou elle fait intervenir 3 éléments 'magiques' des mathématiques, l'exponentielle, Pi, et l'imaginaire i.
Il me semble bien que c'est Euler qui l'a découvert.

4 éléments, "e" étant aussi un nombre magique, bien que moins connu que Pi, apparaissant dans un grand nombre de domaines mathématiques.


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