Comme l'a dit OlivierT les fonctions puissances sont connues depuis lontemps mais avec des exposants essentiellement entiers, c'est à la fin du Moyen-Age que l'on va voir apparaître timidement des exposants entiers négatifs ou fractionnaires (Oresme, Bradwardine) mais ces tentatives restent intuitives et insignifiantes.
Newton utilisera systématiquement les exposants fractionnaires et négatifs avec le développement de son binôme
Mais la définition d'un nombre élevé à un exposant réel quelconque
(entier, fractionnaire ou autre) et qui constitue ce qu'on appelle précisément une fonction exponentielle, passe obligatoirement par le
logarithme.
Les logarithmes furent inventés par l'écossais John Neper au début du 16e siècle, essentiellement pour faciliter les calculs. En effet, les logarithmes transforment les multiplications en sommes selon la formule
ln(ab) = ln(a) +ln(b),
de sorte que pour faire une multiplication on était ramené, grâce à une table de logarithmes, à faire une addition facile.
L'astronome J. Kepler les a utilisés aussitôt.
Mathématiquement, la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme. Or, la notion de fonction n'apparait explicitement qu'au 18e siécle et, de fait, la fonction exponentielle n'apparaît vraiment qu'au 18e siécle, chez Léonard Euler dans son
Introduction à l'analyse infinitésimale, Lausanne, 1748 (téléchargeable sur Gallica). C'est lui qui donne la notation devenue classique
.(p. 79, T.1). A partir de cette fonction exponentielle
naturelle on définit les
fonctions exponentielles de base a quelconque (réel positif) et notée
.
Pour en revenir à L. Euler,il donne également des calculs de croissance de population, en particulier un exemple de croissance de population commençant au Déluge avec 6 personnes (p.89 T.1).