Le mot "Porte" seul, pour désigner Constantinople est assez courant au 17e siècle. Par exemple, le 25 juillet 1634, Peiresc écrit une lettre à M. de Saint-Saulveur, parlant de La porte. Et peut-être que cette expression existerait déjà depuis la prise de Constantinople en 1453.
L'ajout de l'adjectif "sublime" semble plus tardif. Je ne le trouve nul part dans mon petit corpus de textes du 17e siècle. Je ne le trouve pas dans les cinq premières éditions du dictionnaire de l'Académie française (1694, 1718, 1740, 1762, et 1798). Par contre il apparait dans la sixième édition en 1835 : "Porte, se dit, dans une acception particulière, pour désigner La cour de l'empereur des Turcs. La Porte Ottomane. La Sublime Porte. Ambassadeur à la Porte. Un ambassadeur, un envoyé de la Porte." Je le trouve aussi un peu auparavant, à la date précise du 6 juillet 1786, dans une lettre en anglais de John Adams au comte de Vergennes : "having a Treaty with the Sublime Porte."
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