On a pendant très longtemps pensé que le fameux postulat d’Euclide serait un jour démontré.
Mot à mot (à la traduction près) il était exprimé ainsi dans les Eléments :
Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, les deux droites prolongées à l’infini se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.Il fallut attendre des mathématiciens comme Lobatchveski, Bolyai ou Riemann mentionnés par Pouzet – on peut y ajouter Gauss – pour se lancer dans l’idée d’une géométrie qui ne respecterait pas cet axiome.
D’un certain point de vue les navigateurs font de la géométrie non-euclidienne en remplaçant les droites du plan euclidien par des arcs de grand cercle. D’un autre point de vue, ils restent dans le domaine d’Euclide mais dans l’espace à trois dimensions et non plus dans le plan qui n’en a que deux. Les choses se compliquent sérieusement si l’on veut se lancer dans l’étude d’un espace non euclidien à trois dimensions. Les représentations graphiques ne sont plus possibles.
Ce qu’a apporté Einstein avec sa théorie de la relativité touche en premier lieu la physique qui ne répond plus aux lois de Newton. Elle amène, mais en second lieu, à ne plus voir l’espace comme euclidien.
Une droite est définie par Euclide comme une ligne qui est toute également interposée entre ses points. Autrement dit, c’est le trajet le plus court pour relier deux points.
Il a été vérifié que, conformément à ce que prévoyait la théorie de la relativité, la lumière était déviée par les champs de gravitation. La vitesse de la lumière étant un absolu, le temps mis par la lumière pour atteindre un point à partir d’un autre étant le plus court, on peut considérer que la droite est le trajet suivi par la lumière et que l’espace n’est de ce fait plus euclidien. Il aurait, pour reprendre l'image de la surface terrestre sur laquelle se déplacent les navigateurs et les ours polaires, une courbure. En dehors de tout champ de gravitation, le rayon de courbure est infini et l'espace est donc euclidien. Dans un champ gravitationnel le rayon de courbure est fini et d'autant plus petit que le champ est intense. Cela n’empêche toutefois pas de donner de l’espace une description euclidienne. On peut dessiner des cartes du ciel qui situent les étoiles les unes par rapport aux autres au moyen d’un repère euclidien.
Une réécriture de la géométrie d'Euclide qui repose sur une construction répondant aux exigences de rigueur actuelles a été proposée par David Hilbart :
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996866?rk=21459;2#. Il reprend le postulat d'Euclide mais précise qu'on peut très bien imaginer une géométrie qui ne le respecte pas.