Dans la section second empire, Liber censualisnous a appris que le pape Pie IX avait été le parrain du prince impérial.

J'avoue avoir été fort surpris de voir un pape être parrain.

Était ce fréquent?
Quels furent les précédents ?
Y a t il des restrictions ou des contraintes particulières au choix du parrain parmi les ecclésiastiques ?

C'est une pratique assez ancienne chez les souverains français de demander à l'évêque de Rome d'être parrain de leur ainé.
Louis XIII, par exemple, demanda à Urbain VIII d'être le parrain de Louis XIV. Celui-ci envoya des "langes sacrés" en guise d'acceptation.
Finalement, ce fut Mazarin qui devint le parrain du jeune monarque (après, rien n'empêchait au jeune baptisé d'avoir plusieurs parrains et marraines).
Louis XIV demanda également à Clément IX d'être le parrain de son ainé en 1668.
Cela dit, j'ignore depuis quand cette pratique s'était répandue.

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Un peuple sans âme n'est qu'une vaste foule
Alphonse de Lamartine

Merci beaucoup

Puis-je déduire de votre propos que le prêtre qui parraine n'est pas celui qui administre le sacrement?

Alors ça, bonne question... n'étant pas expert en théologie, je n'en sais rien.
Cependant, je ne pense pas que cela fut interdit.
Il me semble que dans de nombreuses paroisses des prêtres furent parrains d'enfants abandonnés ou orphelins qu'ils baptisaient.
A vérifier...

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Alphonse de Lamartine