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 Sujet du message : La géométrie non-euclidienne
Message Publié : 07 Août 2022 11:09 
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Philippe de Commines
Philippe de Commines
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Bonjour !
:mrgreen:

La géométrie non-euclidienne postule que par un point extérieur à une droite il peut passer plusieurs parallèles distinctes à cette droite
Cette géométrie a été découverte essentiellement au 19° siècle par des mathématiciens comme Lobatchveski, Bolyai ou Riemmann.
Elle est appelée 'non euclidienne' car elle n'utilise pas l'un des postulats d'Euclide.

Savez-ou dans quels domaines de la physique a t-elle commencée par être utilisée ?
En astrophysique, en électricité ?

Merci de vos lumières.
:mrgreen:

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Epitaphe trouvée dans un cimetière des Alpes

La science de l'histoire est une digue qui s'oppose au torrent du temps.
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Message Publié : 07 Août 2022 11:36 
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Pierre de L'Estoile
Pierre de L'Estoile

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Bonjour,

Pour ce que j’en sais, c’est la théorie de la relativité qui, en introduisant l’idée que la masse d’un corps n’était pas seulement sa quantité de matière mais dépendait aussi de sa vitesse, a amené à décrire l’espace selon une géométrie non-euclidienne.

Par ailleurs, c'est la théorie de la relativité qui unit électricité et électromagnétisme. Mais je n'en sais pas plus.


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Message Publié : 07 Août 2022 17:16 
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Pouzet a écrit :
Elle est appelée 'non euclidienne' car elle n'utilise pas l'un des postulats d'Euclide.

Que vous avez donné par anti-phrase : une seule parallèle passe par un point extérieur à une droite donnée.

C'est en quelque sorte la vision la plus "naturelle".

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Message Publié : 07 Août 2022 19:52 
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Grégoire de Tours
Grégoire de Tours

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La petite devinette ci-dessous, certes bien plus simpliste que la théorie de la relativité, fait appel à la géométrie non euclidienne.

Un ours parcourt 1 km en ligne droite vers le sud.
Il tourne à angle droit et parcourt 1 km vers l'ouest.
Il tourne à nouveau à angle droit et parcourt 1 km vers le nord.
Et il se retrouve à son point de départ.

Quelle est la couleur de l'ours ?


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Message Publié : 07 Août 2022 21:21 
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Dupleix a écrit :
La petite devinette ci-dessous, certes bien plus simpliste que la théorie de la relativité, fait appel à la géométrie non euclidienne.

Un ours parcourt 1 km en ligne droite vers le sud.
Il tourne à angle droit et parcourt 1 km vers l'ouest.
Il tourne à nouveau à angle droit et parcourt 1 km vers le nord.
Et il se retrouve à son point de départ.

Quelle est la couleur de l'ours ?

C'est un ours blanc, qui part du pôle nord et y revient.

(Mais pour qu'il y ait des angles droits il doit suivre une parallèle vers l'ouest, donc se déplacer en arc de cercle. Et je ne suis pas certain que cette condition suffise, en fait le problème est assez tordu, je trouve.)

Merci pour cet exercice intrigant.

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Message Publié : 07 Août 2022 22:07 
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Grégoire de Tours
Grégoire de Tours

Inscription : 13 Mai 2006 22:36
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Localisation : Toulouse
Pierma a écrit :
Dupleix a écrit :
La petite devinette ci-dessous, certes bien plus simpliste que la théorie de la relativité, fait appel à la géométrie non euclidienne.

Un ours parcourt 1 km en ligne droite vers le sud.
Il tourne à angle droit et parcourt 1 km vers l'ouest.
Il tourne à nouveau à angle droit et parcourt 1 km vers le nord.
Et il se retrouve à son point de départ.

Quelle est la couleur de l'ours ?

C'est un ours blanc, qui part du pôle nord et y revient.

(Mais pour qu'il y ait des angles droits il doit suivre une parallèle vers l'ouest, donc se déplacer en arc de cercle. Et je ne suis pas certain que cette condition suffise, en fait le problème est assez tordu, je trouve.)

Merci pour cet exercice intrigant.


C'est normal que ce soit tordu, c'est de la géométrie sphérique :wink:
Mais vous avez raison : en allant vers l'ouest, l'ours suit un parallèle, qui n'est pas une "droite" (au sens du plus court chemin d'un point à un autre). Il y a bien 2 angles droits mais la trajectoire n'est donc pas un "triangle".
En revanche, si au lieu de faire 1 km, l'ours va jusqu'à l'équateur, son trajet vers l'ouest se fait alors sur un grand cercle de la sphère et est dans ce cas bien une "droite".
Dans ce cas sa trajectoire formerait un triangle ayant 2 angles droits et un autre angle non nul, soit une somme des angles > 180°

Tout ça pour suggérer que ce sont peut-être les navigateurs et les cartographes qui ont eu les premiers à se servir d'une géométrie non euclidienne particulière, en l'occurrence la géométrie sphérique.


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Message Publié : 07 Août 2022 22:16 
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Philippe de Commines
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Citer :
Pour ce que j’en sais, c’est la théorie de la relativité qui, en introduisant l’idée que la masse d’un corps n’était pas seulement sa quantité de matière mais dépendait aussi de sa vitesse, a amené à décrire l’espace selon une géométrie non-euclidienne.


Oui c'est ça l'espace est déformé par la gravitation, il me semble.

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Message Publié : 08 Août 2022 5:21 
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Pouzet a écrit :
Citer :
Pour ce que j’en sais, c’est la théorie de la relativité qui, en introduisant l’idée que la masse d’un corps n’était pas seulement sa quantité de matière mais dépendait aussi de sa vitesse, a amené à décrire l’espace selon une géométrie non-euclidienne.


Oui c'est ça l'espace est déformé par la gravitation, il me semble.

Non, en fait l'espace est déformé par la présence d'une masse, et cette déformation explique l'attraction autour de lui, qu'on appelle la gravitation.
(Je dois avouer que je serais bien en peine d'expliquer le phénomène, même si j'en ai lu des descriptions très pédagogiques.)

Il faut remonter au XVIIIe siècle et à la théorie de Newton : celui-ci avait mis en évidence que deux masses s'attirent comme si elles était reliées par un élastique, et il avait même exprimé la force de cet élastique : F = k.M1.M2/d² où d est la distance qui sépare les masses M1 et M2 et k une constante.

Cette loi expliquait bien, entre autres, le mouvement des planètes - ou la trajectoire des obus - mais Newton était lui-même bien conscient qu'il n'avait pas expliqué d'où provenait ce comportement d'élastique. (Sa loi décrivait l'attraction mais ne l'expliquait pas.) Plus tard, fin 19e, les astronomes se sont mêmes aperçus que le mouvement de Saturne divergeait - de façon infime - de ce que la loi d'attraction universelle prédisait.

Il a fallu attendre Einstein, en 1905, pour donner une description (une modélisation) différente de l'attraction universelle, description dont les calculs remettaient Saturne à sa place et prévoyaient tous les phénomènes relativistes.

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Message Publié : 09 Août 2022 13:06 
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Pierre de L'Estoile
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On a pendant très longtemps pensé que le fameux postulat d’Euclide serait un jour démontré.

Mot à mot (à la traduction près) il était exprimé ainsi dans les Eléments :

Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, les deux droites prolongées à l’infini se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Il fallut attendre des mathématiciens comme Lobatchveski, Bolyai ou Riemann mentionnés par Pouzet – on peut y ajouter Gauss – pour se lancer dans l’idée d’une géométrie qui ne respecterait pas cet axiome.

D’un certain point de vue les navigateurs font de la géométrie non-euclidienne en remplaçant les droites du plan euclidien par des arcs de grand cercle. D’un autre point de vue, ils restent dans le domaine d’Euclide mais dans l’espace à trois dimensions et non plus dans le plan qui n’en a que deux. Les choses se compliquent sérieusement si l’on veut se lancer dans l’étude d’un espace non euclidien à trois dimensions. Les représentations graphiques ne sont plus possibles.

Ce qu’a apporté Einstein avec sa théorie de la relativité touche en premier lieu la physique qui ne répond plus aux lois de Newton. Elle amène, mais en second lieu, à ne plus voir l’espace comme euclidien.

Une droite est définie par Euclide comme une ligne qui est toute également interposée entre ses points. Autrement dit, c’est le trajet le plus court pour relier deux points.

Il a été vérifié que, conformément à ce que prévoyait la théorie de la relativité, la lumière était déviée par les champs de gravitation. La vitesse de la lumière étant un absolu, le temps mis par la lumière pour atteindre un point à partir d’un autre étant le plus court, on peut considérer que la droite est le trajet suivi par la lumière et que l’espace n’est de ce fait plus euclidien. Il aurait, pour reprendre l'image de la surface terrestre sur laquelle se déplacent les navigateurs et les ours polaires, une courbure. En dehors de tout champ de gravitation, le rayon de courbure est infini et l'espace est donc euclidien. Dans un champ gravitationnel le rayon de courbure est fini et d'autant plus petit que le champ est intense. Cela n’empêche toutefois pas de donner de l’espace une description euclidienne. On peut dessiner des cartes du ciel qui situent les étoiles les unes par rapport aux autres au moyen d’un repère euclidien.

Une réécriture de la géométrie d'Euclide qui repose sur une construction répondant aux exigences de rigueur actuelles a été proposée par David Hilbart : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996866?rk=21459;2#. Il reprend le postulat d'Euclide mais précise qu'on peut très bien imaginer une géométrie qui ne le respecte pas.


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